[MVG] Lecture 1-1: 2D and 1D projective geometry

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Introductions

projective transformation이란

• 평행한 line도 projective transformation 이후에는 평행하지 않게 된다.
• 직사각형도 더이상 직사각형이 아니게 된다.
• circle도 마찬가지이다.
• projective transformation 이후에 보존되지 않는 것을 보았다.
  • 각도, 거리, 거리의 비 모두 보존되지 않음

projective geometry 이란

• straightness: projective geometry에서도 보존되는 특성
  • 예) line은 projective transformation 이후에도 line이다.
  • “projective transformation에 대해 invariant하다”
• 이것을 통해 projective transformation 을 “직선을 보존시키면서 변형하는 어떠한 mapping”이라고 정의할 수 있음.

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Euclidean V.S. Projective

Cartesian coordinates and Homogeneous coordinates

• projective geometry에서는 euclidean geometry에선 exceptional case인 “infinite” 를 다룰 수 있다.
• euclidean space → cartesian coordinates ($\in \mathbb R$)로 표현
• projective space ($\mathbb{P}^2$) → homogeneous coordinates 로 표현
  • $(kx, ky, k) = k(x, y, 1)$ → 모든 $k$에 대해서 equivalent하다.
• Homogeneous coordinates → Cartesian coordinates
  1. $k$를 나눠 $(x, y, 1)$로 만들고,
  2. 맨 뒤 좌표를 없애면, projective space에서 euclidean space로 만들 수 있다.

point at infinity

• 3개의 숫자로 표현하게 되면서, 마지막 숫자 $k=0$ 을 통해 “point at infinity”를 표현할 수 있다.

• $(x, y)$를 $(kx, ky, k)$로 만듦으로써 Euclidean space를 Projective space로 확장할 수 있다.

• 위 “모든 k에 대해서 equivalent하다” 라는 문장을 시각화하여 설명하고 있다.
• point at infinity의 위치도 위 그림에서 확인할 수 있다.
• $(0, 0, 0)$: 이건 homogeneous coordinate에서도 정의되지 않는다.

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The 2D Projective Plane

• homogeneous coordinate에서 point와 line의 표현은 interchangeable (dual)
• projective space에서의 point: ray로 표현
• ~projective space에서의 line: plane으로 표현~
  • ~따라서 line은 이 plane의 normal vector로 표현할 수 있다.~

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Lines and Points

• In Cartesian coordinates
  • $ax+by+c = 0$: 이런 다항식으로 line을 표현할 수 있음.
  • cartesian coordinate 에서 x-y plane 상의 line을 표현
• $ax+by+c = 0$ $\iff$ $(ka)x + (kb)y + (kc) = 0$
  • 벡터 $(a, b, c)$와 line간에는 one-to-one mapping이 아니다. 하나의 line을 나타내는 벡터는 1개가 아니다!
• 즉 $(a, b, c)$와 $k(a, b, c)$ 는 non-zero k에 대해 equivalent class이다.
• $(0, 0, 0)$은 어떠한 correspond line이 없다.

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Incidence relations

• $ax+by+c=0$
  • $(x,y)$는 계수$(a, b, c)$가 표현하는 line 상에 위치할 때 성립한다.
• 위 다항식을 vector들의 내적으로 다시 쓸 수 있다.
  • $(x, y, 1)$: cartesian coordinate에서의 $(x, y)$를 homogeneous coordinate로 표현한 좌표

Point $x$ lies on the line $l$

• $x^Tl = 0$ (ax+by+c=0에서 기인한 것을 위에서 봤었음)
• 이렇게 point와 line간의 incidence 관계를 내적을 이용해 표현할 수 있다.
• 내적 → 교환법칙이 성립 (이건 duality relationship에서 다룰 때 더 자세히 볼 것)
• projective space에서의 DoF: independent ratio의 개수
  • point와 line 모두 2dof를 갖는다.
  • {a : b : c} → 두개의 독립적인 비를 찾을 수 있음

Intersection of lines

• 모든 line들간의 intersection은 하나의 점으로 표현할 수 있음.
  • 평행한 line들도 point at infinity에서 만나기 때문 (in homogenous coordinates)
• intersection point x: 두 line의 cross product로 구할 수 있음
  • cross product를 수행 → 하나의 벡터가 나오는데, homogeneous coordinate에서는 point가 ray와 같기 때문에 의미가 맞다.
• proof
  • cross product하면 각 벡터에 수직인 벡터가 나옴
  • 따라서 line 각각과 cross product로 나온 벡터를 내적하면 0이 나옴
  • 이것은 line 상에 위치한 point와 해당 line간의 관계를 표현하는 식임
  • 따라서 두 line의 외적은 point를 나타냄

Line joining points

• 두 point간의 외적은 line을 의미함
  • 두 point는 각각 원점에서 출발하는 ray로 볼 수 있음.
  • 그 두 ray의 외적은 두 ray에 수직인 벡터를 의미함
  • 이 벡터는 어떤 평면에 normal vector로 볼 수 있음
  • 이 normal vector를 가지는 평면은 homogeneous coordinate 상에서 line을 의미함
  • 따라서 두 point간의 외적은 어느 하나의 line을 나타낼 수 있음 .

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Ideal points and line at infinity

• $l=(a, b, c)$라면 평행한 다른 $l^\prime$은 $l^\prime=(a, b, c^\prime)$으로 표현할 수 있음.
  • $a$와 $b$는 기울기를 의미 → 둘이 같아야 함
  • 따라서 $c$와 $c^\prime$만 다른 형태
• $l\times l^{\prime}$:
  • line간의 intersection 을 구하는 식임 (평행한 직선들의 교점을 구하기 위해)
  • 앞의 $(c^\prime - c)$는 $(b, -a, 0)$ 벡터에 대한 scale factor로 볼 수 있음
  • 하지만 $(b, -a, 0)$은 scale 에 영향을 받지 않음 (세번째 숫자가 0이므로)
  • 세번째 숫자가 0인 것을 point at infinity라고 배웠음
  • 따라서 두 평행한 line은 point at infinity에서 만난다.

• point at infinity는 어느 line at infinity 상에 위치할 것.
  • 두 평행한 line은 point at infinity에서 만난다.
  • 즉 두 평행한 line은 line at infinity와 point at infinity에서 만난다.
• point at infinity(ideal point)인 $(b, -a, 0)$은 방향 벡터로 생각해볼 수 있는데,
  • 두 평행한 직선들의 방향이다.
  • 두 직선들의 normal 방향이다.
  • 즉 $(b,-a)$가 특정되면, 해당 방향을 가지는 모든 평행한 선들이 특정된다는 뜻이고, 이는 곧 그 선들이 $(b,-a)$에서 모두 만난다는 의미를 가진다.
  • 이런 의미에서, $(b,-a)$는 line at infinity 위에 존재하고, 이 line at infinity는 두 평행한 선들의 교차점이 되므로 line at infinity를 2D projective space에서의 line들의 방향들의 집합으로 생각할 수 있음.

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remark

• line과 line간의 교차점이 하나의 point가 된다는 것과, 두개의 point가 line 상에 존재한다는 내용을 서술할 때
• Euclidean space에서는 위에 대해 “평행한 선”들끼리에 대해서는 예외를 둘 수밖에 없다.
• 즉 projective space에서는 이러한 내용을 더욱 간단하게 설명할 수 있게 된다. (평행한 선들을 따로 예외로 처리하지 않고 이들마저 모두 line at infinity 상에 위치한 ideal point에서 만난다는 것으로 다른 경우와 동일하게 처리할 수 있기 때문)
• 하지만 책에선 이 ideal point와 line at infinity를 특별한 것으로 취급할 것이라 함

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Duality principle

• point와 line은 서로 dual이다.
  • homogeneous coordinate의 표현 상에서 dual
  • projective space 상에서의 연산에 대해서 dual
• line과 point가 interchangeable 하다는 특성으로 duality principle을 이끌어냄.

참고자료

• https://www.youtube.com/watch?v=LAHQ_qIzNGU&list=PLxg0CGqViygP47ERvqHw_v7FVnUovJeaz&index=1